做高数题时，对着一串长长的级数发呆，不知道它到底是收敛还是发散，公式背了一堆，一到做题就卡壳。考试时因为判断错了，后面的步骤全白写，分数哗哗掉。要是你也有这烦恼，那今天这篇文章可得好好看，小编整理了超实用的判断技巧，保证让你少走弯路！

一、基础问题：判断收敛和发散前，得先明白啥是收敛、啥是发散？为啥要费这劲判断？

问：到底啥是收敛，啥是发散啊？
答：说白了，收敛就是当一个级数的项数无限增多时，它的和会慢慢靠近一个固定的数，不会瞎跑。发散呢，就是项数越多，和要么变得超大没边，要么在正数负数之间来回晃，没个准头。就像走路，收敛是朝着一个目标稳步前进，发散是东倒西歪找不着北。
问：花时间判断这个有啥用啊？
答：用处可大了。学微积分的时候，好多定理都得先确定级数收敛才能用，要是判断错了，后面的计算全是错的。而且在工程上，比如电路里的信号分析，要是信号对应的级数是发散的，那这个信号可能会失控，提前判断出来才能避免出问题。

二、场景问题：实际做题时，怎么一步步判断收敛还是发散？哪些方法用得最多？

问：拿到一个级数，第一步该干啥？
答：先看它的通项当 n 趋向于无穷大时，极限是不是 0。要是极限不是 0，那不用想了，肯定是发散的。这一步特别简单，能先排除掉一大批发散的情况，节省不少时间。比如级数 1+2+3+…，通项 n 的极限是无穷大，直接就能断定是发散。
问：要是通项极限是 0，那该用啥方法接着判断呢？
答：这时候可以试试比较判别法。找一个咱们熟悉的级数当参照物，比如等比级数或者 p 级数。如果要判断的级数每一项都比一个收敛的级数对应项小，那它也收敛；要是每一项都比一个发散的级数对应项大，那它也发散。比如判断 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 +…，可以和调和级数 1+1/2+1/3+… 比较，显然它的每一项都比调和级数大，而调和级数是发散的，所以这个级数也是发散的。
问：还有没有更方便的方法？比如不用找参照物的？
答：有啊，比值判别法就挺方便。对于正项级数，算一下后一项比前一项的极限。要是这个极限小于 1，级数收敛；大于 1，级数发散；等于 1 的话，这个方法就不管用了，得换别的。比如级数 1+1/2! +1/3! +…，后一项比前一项的极限是 0，小于 1，所以是收敛的。
问：交错级数该咋判断呢？就是正负项交替出现的那种。
答：交错级数可以用莱布尼茨判别法。先看它的通项绝对值是不是单调递减的，再看通项的极限是不是 0。要是这两个条件都满足，那这个交错级数就是收敛的。比如级数 1 -1/2 +1/3 -1/4 +…，通项绝对值 1/n 是单调递减的，而且极限是 0，所以它是收敛的。

三、解决方案：要是判断错了收敛和发散，会有啥后果？该怎么避免判断失误？

问：万一判断错了，会出啥问题？
答：轻的话，就是做题丢分，考试过不了关。严重的话，在实际应用中可能出大错。比如在计算某个工程数值时，把发散的级数当成收敛的去求和，算出来的结果根本不靠谱，可能导致设计出来的东西不达标，甚至有安全隐患。
问：那咋才能减少判断失误呢？
答：首先，基础方法得记牢，别把公式弄混了。然后，多做不同类型的题目，熟悉每种方法适用的情况。做题的时候别急，一步一步来，先检查通项极限，再根据级数类型选合适的判别法。要是用一种方法判断不出来，就换另一种试试，别轻易下结论。小编建议大家把常见的收敛和发散级数整理出来，经常看看，培养一下直觉。
其实判断收敛和发散，就像给级数 “看病”，得先摸清症状，再用合适的 “药方”。刚开始可能觉得难，但练得多了，看到级数就知道该用啥方法。小编当初也是练了好几十道题才找到感觉，所以大家别着急，慢慢琢磨肯定能学会。希望这些技巧能帮到正在犯愁的你，加油哦！